ভেক্টর (Vector) ও ম্যাট্রিক্স (Matrix) : অ্যাডভান্সড টপিক

In this article, we'll take a look at Show

ভেক্টর ও ম্যাট্রিক্সের মৌলিক ধারণাগুলো যেহেতু পরিষ্কার হয়েছে, এবার আমরা আরও কিছু অ্যাডভান্সড টপিক দেখব যা এই ক্ষেত্রগুলোতে আপনার জ্ঞানকে আরও সমৃদ্ধ করবে। আমরা এখন কিছু ধারণার দিকে মনোযোগ দেব যা প্রায়শই মেশিন লার্নিং, লিনিয়ার অ্যালজেব্রা এবং ডেটা অ্যানালাইসিসে ব্যবহৃত হয়।

১. ভেক্টরের নর্ম (Vector Norm)

একটি ভেক্টরের নর্ম হলো তার “দৈর্ঘ্য” বা “magnitude” এর গাণিতিক পরিমাপ। এটি একটি স্কেলার মান (অর্থাৎ, এটি একটি একক সংখ্যা, ভেক্টর নয়) যা ভেক্টরটির প্রতিটি উপাদানের সম্মিলিত প্রভাবকে একটি একক রাশিতে প্রকাশ করে। এটি শুধুমাত্র ধনাত্মক বা শূন্য হতে পারে; এটি কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

দৈনন্দিন জীবনে যেমন আমরা একটি রেখার দৈর্ঘ্য মাপি, তেমনি ভেক্টরের নর্ম সেই ভেক্টরটির “আয়তন” বা “শক্তি” বোঝায়। গণিত এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানে, বিশেষ করে মেশিন লার্নিংয়ে, নর্ম অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি ভেক্টরগুলির মধ্যে দূরত্ব এবং সাদৃশ্য পরিমাপ করতে ব্যবহৃত হয়।

import numpy as np

v = np.array([3, 4])
l2_norm = np.linalg.norm(v)
print("ভেক্টরের L2 নর্ম:", l2_norm) # আউটপুট: ভেক্টরের L2 নর্ম: 5.0

import numpy as np

v = np.array([3, 4])

l2_norm = np.linalg.norm(v)

print("ভেক্টরের L2 নর্ম:", l2_norm) # আউটপুট: ভেক্টরের L2 নর্ম: 5.0

কেন নর্ম এত গুরুত্বপূর্ণ?

দূরত্ব ও সাদৃশ্য: মেশিন লার্নিংয়ে, দুটি ডেটা পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব বা সাদৃশ্য পরিমাপের জন্য নর্ম অপরিহার্য। যেমন, ক্লাস্টারিং (Clustering) অ্যালগরিদমগুলি (K-Means) ডেটা পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্ব পরিমাপ করতে নর্ম ব্যবহার করে।
অপ্টিমাইজেশন (Optimization): অনেক অপ্টিমাইজেশন সমস্যায়, বিশেষ করে রেগুলারাইজেশনে (Regularization), নর্ম ব্যবহৃত হয় মডেলের জটিলতা নিয়ন্ত্রণ করতে এবং ওভারফিটিং (overfitting) কমাতে। L1 এবং L2 রেগুলারাইজেশন এর সাধারণ উদাহরণ।
ভেক্টর স্পেস (Vector Space): নর্ম একটি ভেক্টর স্পেসে “দৈর্ঘ্য” এবং “দূরত্ব” এর ধারণা প্রবর্তন করে, যা গণিতের এই শাখাটিকে আরও সুসংজ্ঞায়িত করে তোলে।
ডেটা নরমালাইজেশন (Data Normalization): ডেটা প্রাক-প্রসেসিংয়ে, অনেক সময় ভেক্টরগুলিকে নরমালাইজ করা হয় (অর্থাৎ, তাদের নর্ম 1 করা হয়) যাতে স্কেলের কারণে কোনো একটি ফিচার মডেলের উপর অতিরিক্ত প্রভাব ফেলতে না পারে।

২. ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ (Angle Between Vectors)

দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ হলো সেই কোণ যা দুটি ভেক্টর একই বিন্দু থেকে শুরু হলে তাদের মধ্যে তৈরি হয়। এটি ভেক্টরদ্বয়ের দিকগত সম্পর্ক (directional relationship) প্রকাশ করে। দুটি নন-জিরো ভেক্টরের (non-zero vectors) মধ্যবর্তী কোণ তাদের ডট প্রোডাক্ট এবং নর্ম ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়। এটি ভেক্টর দুটির “সাদৃশ্য” (similarity) পরিমাপের একটি উপায়।

ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ে ডট প্রোডাক্ট (Dot Product) বা স্কেলার প্রোডাক্ট (Scalar Product) একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। দুটি ভেক্টর $v_1$ এবং $v_2$ -এর ডট প্রোডাক্টকে $v_1 c d o t v_2$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এটি একটি স্কেলার মান।

import numpy as np

v1 = np.array([1, 0])
v2 = np.array([0, 1]) # এই দুটি ভেক্টর 90 ডিগ্রি কোণে আছে (অর্থোগোনাল)

dot_product = np.dot(v1, v2)
norm_v1 = np.linalg.norm(v1)
norm_v2 = np.linalg.norm(v2)

cosine_theta = dot_product / (norm_v1 * norm_v2)
theta_radians = np.arccos(cosine_theta) # কোণ রেডিয়ানে

theta_degrees = np.degrees(theta_radians) # রেডিয়ান থেকে ডিগ্রিতে রূপান্তর
print(f"ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ (ডিগ্রিতে): {theta_degrees:.2f}") # আউটপুট: ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ (ডিগ্রিতে): 90.00

import numpy as np

v1 = np.array([1, 0])

v2 = np.array([0, 1]) # এই দুটি ভেক্টর 90 ডিগ্রি কোণে আছে (অর্থোগোনাল)

dot_product = np.dot(v1, v2)

norm_v1 = np.linalg.norm(v1)

norm_v2 = np.linalg.norm(v2)

cosine_theta = dot_product / (norm_v1 * norm_v2)

theta_radians = np.arccos(cosine_theta) # কোণ রেডিয়ানে

theta_degrees = np.degrees(theta_radians) # রেডিয়ান থেকে ডিগ্রিতে রূপান্তর

print(f"ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ (ডিগ্রিতে): {theta_degrees:.2f}") # আউটপুট: ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ (ডিগ্রিতে): 90.00

কেন ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ গুরুত্বপূর্ণ?

টেক্সট মাইনিং (Text Mining): ডকুমেন্টগুলোকে ভেক্টর হিসেবে উপস্থাপন করা হয় (যেমন, TF-IDF ভেক্টর)। দুটি ডকুমেন্টের মধ্যে কোণ যত কম হয়, তারা তত বেশি বিষয়বস্তুতে মিল থাকে। একে কোসাইন সিমিলারিটি (Cosine Similarity) বলা হয়।
রেকমেন্ডেশন সিস্টেম (Recommendation Systems): ব্যবহারকারী বা পণ্যের ভেক্টর তৈরি করে তাদের মধ্যে সাদৃশ্য পরিমাপ করা হয়, যার ভিত্তিতে রেকমেন্ডেশন দেওয়া হয়।
প্রজেকশন (Projection): একটি ভেক্টরকে অন্য একটি ভেক্টরের উপর প্রজেক্ট করার সময় মধ্যবর্তী কোণ ব্যবহৃত হয়। এটি একটি ভেক্টরের “কতটুকু” অন্য ভেক্টরের দিকে নির্দেশ করছে তা বোঝায়। যেমন, পদার্থবিজ্ঞানে বলের উপাংশ নির্ণয়ে এটি ব্যবহৃত হয়।
কম্পিউটার গ্রাফিক্স (Computer Graphics): আলোকসজ্জা (lighting), শেডিং (shading) এবং অবজেক্টের ওরিয়েন্টেশন (orientation) গণনার জন্য ভেক্টরের কোণ ব্যবহার করা হয়।
সাপোর্ট ভেক্টর মেশিন (Support Vector Machines – SVM): এই অ্যালগরিদমটি ডেটাকে পৃথক করার জন্য হাইপারপ্লেন তৈরি করে, যেখানে ডেটা পয়েন্ট থেকে হাইপারপ্লেনের ভেক্টর দূরত্ব নির্ণয় করা হয়।
প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস (PCA): ডেটার মাত্রা কমানোর জন্য নতুন অর্থোগোনাল অক্ষ (যা ভেক্টর) খুঁজে বের করতে হয়। এই অক্ষগুলো এমনভাবে নির্বাচন করা হয় যাতে ডেটার সর্বাধিক ভ্যারিয়েন্স এই অক্ষ বরাবর থাকে, যা কোণের ধারণার সাথে সম্পর্কিত।

৩. আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)

আমরা ম্যাট্রিক্সের বিভিন্ন অপারেশন দেখেছি, তার মধ্যে একটি বিশেষ ম্যাট্রিক্স হলো আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)। সহজ কথায়, আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স হলো এমন একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স যা ম্যাট্রিক্স গুণের ক্ষেত্রে “1” এর ভূমিকা পালন করে। অর্থাৎ, যেকোনো ম্যাট্রিক্সকে যদি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করা হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সটি অপরিবর্তিত থাকে।

একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স হলো একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স (square matrix) যার প্রধান কর্ণ (main diagonal) বরাবর সমস্ত উপাদান 1 এবং অন্যান্য সমস্ত উপাদান 0। বর্গাকার ম্যাট্রিক্স মানে হলো ম্যাট্রিক্সটির সারি (rows) এবং কলামের (columns) সংখ্যা সমান। এটি সাধারণত $I$ বা $I_n$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেখানে $n$ হলো ম্যাট্রিক্সের মাত্রা (dimension)।

import numpy as np

# 3x3 আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স তৈরি
identity_matrix = np.eye(3)
print("আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স:\n", identity_matrix)
# আউটপুট:
# আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স:
#  [[1. 0. 0.]
#  [0. 1. 0.]
#  [0. 0. 1.]]

# ম্যাট্রিক্স গুণের উদাহরণ
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
result = np.dot(A, identity_matrix)
print("A * I:\n", result)
# আউটপুট:
# A * I:
#  [[1. 2. 3.]
#  [4. 5. 6.]
#  [7. 8. 9.]]

import numpy as np

# 3x3 আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স তৈরি

identity_matrix = np.eye(3)

print("আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স:\n", identity_matrix)

# আউটপুট:

# আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স:

# [[1. 0. 0.]

# [0. 1. 0.]

# [0. 0. 1.]]

# ম্যাট্রিক্স গুণের উদাহরণ

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

result = np.dot(A, identity_matrix)

print("A * I:\n", result)

# আউটপুট:

# A * I:

# [[1. 2. 3.]

# [4. 5. 6.]

# [7. 8. 9.]]

কেন আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স গুরুত্বপূর্ণ?

লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন (Linear Transformation): আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স একটি লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন প্রতিনিধিত্ব করে যা একটি ভেক্টরকে অপরিবর্তিত রাখে। অর্থাৎ, যদি একটি ভেক্টরকে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করা হয়, তবে ভেক্টরের দিক বা দৈর্ঘ্য কোনোটাই পরিবর্তিত হয় না। এটি গ্রাফিক্স এবং কম্পিউটার ভিশনে গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে আপনি অবজেক্টের অবস্থান বা আকৃতি পরিবর্তন না করে তাদের একটি রেফারেন্স ফ্রেমে রাখতে চান।
লিনিয়ার সমীকরণ সিস্টেম সমাধান (Solving Linear Equation Systems): লিনিয়ার সমীকরণ সিস্টেম সমাধান করার জন্য গাউস-জর্ডান এলিমিনেশন (Gauss-Jordan Elimination) এর মতো পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এই পদ্ধতিতে একটি ম্যাট্রিক্সকে রো অপারেশন (row operations) এর মাধ্যমে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা হয়, যা সমীকরণ সিস্টেমের সমাধান নির্ণয়ে সাহায্য করে।
ফাংশনালিটি চেক (Functionality Check): গণিত এবং প্রোগ্রামিংয়ে, ম্যাট্রিক্স অপারেশন সম্পর্কিত অ্যালগরিদমগুলির সঠিকতা যাচাই করতে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স একটি বেঞ্চমার্ক হিসাবে কাজ করে। উদাহরণস্বরূপ, আপনার ম্যাট্রিক্স গুণন কোডটি সঠিকভাবে কাজ করছে কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য আপনি একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করে দেখতে পারেন যে মূল ম্যাট্রিক্সটি ফেরত আসছে কিনা।
মেশিন লার্নিংয়ে রেগুলারাইজেশন (Regularization in Machine Learning): কিছু মেশিন লার্নিং অ্যালগরিদম, বিশেষ করে রিগ্রেশন (Regression) এবং নিউরাল নেটওয়ার্ক (Neural Networks) এ, রেগুলারাইজেশন (Regularization) এর জন্য আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের একটি স্কেলার গুণিতক যোগ করা হয়। এটি ওভারফিটিং (overfitting) কমাতে সাহায্য করে এবং মডেলকে আরও স্থিতিশীল (stable) করে তোলে।

৪. ইনভার্স ম্যাট্রিক্স (Inverse Matrix)

একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স $A$ -এর ইনভার্স ম্যাট্রিক্স হলো এমন একটি ম্যাট্রিক্স $A^{-1}$ যা $A$ -এর সাথে গুণ করলে একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix) উৎপন্ন করে। অর্থাৎ: $A A^{-1} = A^{-1} A = I$ . সব ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স থাকে না। ইনভার্স থাকার জন্য ম্যাট্রিক্সটিকে নন-সিঙ্গুলার (non-singular) হতে হয়, যার অর্থ তার ডিটারমিন্যান্ট (determinant) শূন্য হবে না। ইনভার্স ম্যাট্রিক্স লিনিয়ার ইকুয়েশন সিস্টেম (linear equation systems) সমাধান করতে এবং ডেটা ট্রান্সফরমেশনে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে।

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

try:
    A_inverse = np.linalg.inv(A)
    print("A এর ইনভার্স:\n", A_inverse)
    # আউটপুট:
    # A এর ইনভার্স:
    #  [[-2.   1. ]
    #  [ 1.5 -0.5]]

    # যাচাইকরণ: A * A_inverse = I
    check_identity = np.dot(A, A_inverse)
    print("A * A_inverse:\n", check_identity)
    # আউটপুট (ফ্লোটিং পয়েন্ট ত্রুটির কারণে খুব ছোট মান থাকতে পারে):
    # A * A_inverse:
    #  [[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
    #  [8.8817842e-16 1.0000000e+00]] # এখানে 8.88e-16 আসলে প্রায় 0
except np.linalg.LinAlgError:
    print("এই ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স নেই (এটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স)।")

# একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ (যার ইনভার্স নেই)
B = np.array([[1, 2], [2, 4]])
try:
    B_inverse = np.linalg.inv(B)
    print("B এর ইনভার্স:\n", B_inverse)
except np.linalg.LinAlgError:
    print("\nএই ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স নেই (এটি একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স)।")
    # আউটপুট: এই ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স নেই (এটি একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স)।

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

try:

A_inverse = np.linalg.inv(A)

print("A এর ইনভার্স:\n", A_inverse)

# আউটপুট:

# A এর ইনভার্স:

# [[-2. 1. ]

# [ 1.5 -0.5]]

# যাচাইকরণ: A * A_inverse = I

check_identity = np.dot(A, A_inverse)

print("A * A_inverse:\n", check_identity)

# আউটপুট (ফ্লোটিং পয়েন্ট ত্রুটির কারণে খুব ছোট মান থাকতে পারে):

# A * A_inverse:

# [[1.0000000e+00 0.0000000e+00]

# [8.8817842e-16 1.0000000e+00]] # এখানে 8.88e-16 আসলে প্রায় 0

except np.linalg.LinAlgError:

print("এই ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স নেই (এটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স)।")

# একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ (যার ইনভার্স নেই)

B = np.array([[1, 2], [2, 4]])

try:

B_inverse = np.linalg.inv(B)

print("B এর ইনভার্স:\n", B_inverse)

except np.linalg.LinAlgError:

print("\nএই ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স নেই (এটি একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স)।")

# আউটপুট: এই ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স নেই (এটি একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স)।

৫. ডিটারমিন্যান্ট (Determinant)

একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট একটি স্কেলার মান যা ম্যাট্রিক্সের কিছু বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে। এটি ম্যাট্রিক্সের স্কেলিং ফ্যাক্টর (scaling factor) হিসাবে কাজ করে যখন এটি একটি লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন (linear transformation) উপস্থাপন করে। যদি একটি ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট শূন্য হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সটির ইনভার্স থাকে না (অর্থাৎ এটি সিঙ্গুলার)।

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
det_A = np.linalg.det(A)
print("A এর ডিটারমিন্যান্ট:", det_A) # আউটপুট: A এর ডিটারমিন্যান্ট: -2.0

B = np.array([[1, 2], [2, 4]]) # এটি একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স
det_B = np.linalg.det(B)
print("B এর ডিটারমিন্যান্ট:", det_B) # আউটপুট: B এর ডিটারমিন্যান্ট: 0.0

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

det_A = np.linalg.det(A)

print("A এর ডিটারমিন্যান্ট:", det_A) # আউটপুট: A এর ডিটারমিন্যান্ট: -2.0

B = np.array([[1, 2], [2, 4]]) # এটি একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স

det_B = np.linalg.det(B)

print("B এর ডিটারমিন্যান্ট:", det_B) # আউটপুট: B এর ডিটারমিন্যান্ট: 0.0

৬. র্যাঙ্ক (Rank)

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হলো তার স্বাধীন কলাম বা সারির সর্বোচ্চ সংখ্যা। এটি ম্যাট্রিক্সের “ডাইমেনশনালিটি” (dimensionality) বা “তথ্য” (information) ধারণ ক্ষমতা সম্পর্কে ধারণা দেয়। ডেটা সায়েন্সে, র্যাঙ্ক একটি ডেটাসেটের প্রকৃত মাত্রা নির্ধারণে সাহায্য করতে পারে।

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]]) # কলাম 3 = কলাম 2 + কলাম 1, তাই র্যাঙ্ক 2 হবে
rank_A = np.linalg.matrix_rank(A)
print("A এর র্যাঙ্ক:", rank_A) # আউটপুট: A এর র্যাঙ্ক: 2

B = np.array([[1, 0, 0],
              [0, 1, 0],
              [0, 0, 1]]) # আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তার মাত্রা সমান
rank_B = np.linalg.matrix_rank(B)
print("B এর র্যাঙ্ক:", rank_B) # আউটপুট: B এর র্যাঙ্ক: 3

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3],

[4, 5, 6],

[7, 8, 9]]) # কলাম 3 = কলাম 2 + কলাম 1, তাই র্যাঙ্ক 2 হবে

rank_A = np.linalg.matrix_rank(A)

print("A এর র্যাঙ্ক:", rank_A) # আউটপুট: A এর র্যাঙ্ক: 2

B = np.array([[1, 0, 0],

[0, 1, 0],

[0, 0, 1]]) # আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তার মাত্রা সমান

rank_B = np.linalg.matrix_rank(B)

print("B এর র্যাঙ্ক:", rank_B) # আউটপুট: B এর র্যাঙ্ক: 3

৭. আইগেনভেক্টর ও আইগেনমান (Eigenvectors and Eigenvalues)

আইগেনভেক্টর (Eigenvector) এবং আইগেনমান (Eigenvalue) লিনিয়ার অ্যালজেব্রার দুটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, বিশেষ করে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস (PCA) এবং কিছু মেশিন লার্নিং অ্যালগরিদমে এর ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে।

যখন একটি ম্যাট্রিক্স (একটি লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন) একটি ভেক্টরে প্রয়োগ করা হয়, তখন সাধারণত ভেক্টরের দিক এবং দৈর্ঘ্য উভয়ই পরিবর্তিত হয়। কিন্তু কিছু বিশেষ ভেক্টর আছে যাদের দিক ম্যাট্রিক্সের প্রয়োগের পরেও একই থাকে, শুধুমাত্র তাদের দৈর্ঘ্য একটি স্কেলার ফ্যাক্টর দ্বারা পরিবর্তিত হয়। এই বিশেষ ভেক্টরগুলোকে আইগেনভেক্টর বলা হয় এবং যে স্কেলার ফ্যাক্টর দ্বারা তাদের দৈর্ঘ্য পরিবর্তিত হয়, তাকে আইগেনমান বলা হয়।

$A v = λ v$

যেখানে:

$A$ হলো বর্গাকার ম্যাট্রিক্স
$v$ হলো আইগেনভেক্টর
$l amb d a$ (ল্যামডা) হলো সংশ্লিষ্ট আইগেনমান

import numpy as np

A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])

eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

print("আইগেনমান (Eigenvalues):", eigenvalues)
# আউটপুট: আইগেনমান (Eigenvalues): [3. 1.]

print("আইগেনভেক্টর (Eigenvectors):\n", eigenvectors)
# আউটপুট (কলাম আকারে):
# আইগেনভেক্টর (Eigenvectors):
#  [[ 0.70710678 -0.70710678]
#  [ 0.70710678  0.70710678]]

import numpy as np

A = np.array([[2, 1],

[1, 2]])

eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

print("আইগেনমান (Eigenvalues):", eigenvalues)

# আউটপুট: আইগেনমান (Eigenvalues): [3. 1.]

print("আইগেনভেক্টর (Eigenvectors):\n", eigenvectors)

# আউটপুট (কলাম আকারে):

# আইগেনভেক্টর (Eigenvectors):

# [[ 0.70710678 -0.70710678]

# [ 0.70710678 0.70710678]]

উপরের উদাহরণে, $A$ ম্যাট্রিক্সের দুটি আইগেনমান ( $3$ এবং $1$ ) এবং দুটি সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টর রয়েছে। আইগেনভেক্টরগুলো কলাম আকারে প্রিন্ট হয়।

আশা করি এই আলোচনা আপনাকে ভেক্টর ও ম্যাট্রিক্সের আরও গভীরে নিয়ে যেতে পেরেছে। এই ধারণাগুলো লিনিয়ার অ্যালজেব্রার মূল ভিত্তি এবং আধুনিক ডেটা বিজ্ঞান, মেশিন লার্নিং, কোয়ান্টাম ফিজিক্স এবং ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের মতো অসংখ্য ক্ষেত্রে অপরিহার্য।